November 2012 ~ Publik

BAB I

STATISTIK

1. PERANAN STATISTIK

Ilmu statistic merupakan ilmu terapan yang seringkali di gunakan dalam kehidupan sehari-hari. Pernyataan pernyataan yang sering terlontar dari dari kata-kata seperti : pengeluaran setiap bulan mencapai 500 ribu, ada 60 % masyarakat membutuhkan tempat tinggal, hamper setiap hari telah terjadi 8 kali kecelakaan kendaraan roda dua dan roda empat, hasil panen yang akan dating diperkirahan 50 kintal tiap hektar, tahun ini telah terjadi 35 jenis tindak criminal yang dilakukan oleh masyarakat Medan, hamper setiap tahun ada anak SD putus sekolah, dan masih banyak lagi kata-kata yang sering kita ucapkan atau kit abaca di surat kabar yang menggunakan data-data Statistik.

Pemerintahanpun mengambil manfaat dari kegunaan statistic untuk melakukan tindakan-tindakan dalam menjalankan tugasnya, seperti : Perlukah mengangkat karyawan baru, sudah waktunya membeli mesin baru, adakah manfaatnya jika pegawai diberikan pelatihan, bagaimanakah kemajuan usaha ditahun ini, perlukah sistim baru dianut dan system lama ditinggalkan, dan masih banyak lagi sebutan-sebutan yang digunakan dalam pemerintahan.

Dalam dunia penelitain atau riset, dimanapun dan apapun jenis penelitiannya, banyak manfaat yang sering dan harus di digunakan sebagian besar data statistic. Untuk dapat menetahui apakah cara yang baru ditemukan akan lebih baik daripada cara yang lama, melalui riset yang dilakuakan dilaboraturium, atau penelitian yang dilakukan dilapangan, perlu diadakan dengan menggunakan statistic.

Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa setatistik cukup dapat memberikan gambaran yang sanga diperlukan dalam bidang apa saja seperti : Tehnik, industry, ekonomi, astronomi, biologi, kedokteran, pemerintahan, pendidikan, meteorology, geologi, farmasi, ekologi, IPA, IPS dan lain-lain, minimal dalam hal metodenya.

2. STATISTIK DAN STATISTIKA

Dalam bagian ini kita akan membedakan antara kata Statistik dan Statistika. Banyak persoalan yang kita hadapi dalam kehidupan sehari-hari baik dalam bentuk pengetahuan dan penelitian, riset dan pengamatan, dinyatakan dalam bentuk lisan atau tulisan, dicatat dalam bentuk angka atau bilangan-bilangan, disusun dalam bentuk table atau daftar, disertai gambar yang disebut diagram atau grafik untuk mempelajari persoalan yang segangbdipelajari atau diteliti yang kesemuanya ini di namakan statistik. Jadi statistic adalah kumpulan data, bilangan atau non bilangan yang disusun dalam table atau diagram yang melukiskan suatu persoalan, seperti statistic penduduk, statistic kelahiran, statistic pendidikan, statistic produksi, pertanian, kesehatan dll.

Kata statistic juga masih memiliki pengertian lain yakni dipakai untuk menyatakan ukuran seperti persen dan rata-rata.

Contoh :

Ø Jika kita meneliti 20 pegawai rata-rata gajinya tiap bulan adalah Rp 87.500,- maka rata-rata Rp87.500 merupakan data statistic.

Ø Dari 20 pegawai, ada 40% yang gajinya kurang dari Rp 600.000,- maka nilai 40% merupakan data statistic.

Selanjutnya bahwa pengumpulan data atau keterangan, pengolahan data dan pembuatan kesimpulan haruslahdigunakan dengan baik, cermat, teliti, hati-hati, mengikuti cara-cara dan teori yang benar dan dapat dipertanggung jawabkan. Ini semua merupakan pengertian atau pengetahuan sendiri yang diberinama statistika. Jadi statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisaan dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisaan yang dilakukan.

3. DATA STATISTIK

Data staistik menerangkan atau mengilustrasikan mengenai suatu hal bias berbentuk kategori seperti : rusak, baik, senang, puas, berhasil, gagal, dan sebagainay atau bias juga berbentuk bilangan.

Data yang berbentuk bilangan disebut data Kuantitatif, sedangkan dta yang bersifat penjabaran dan menggunakan banyak referensi atau sifat disebut data Kualitatif. Harganya berubah-ubah atau bersifat variable. Data variable dibagi menjadi dua golongan yaitu :

Ø Variabel diskrit : (menghitung)

Ex : - Keluarga A mempunyai 5 anak laki-laki dan 3 anak perempuan.

- Kota Metro sudah membangun 85 gedung sekolah.

Ø Variabel Kontinyu : (mengukur)

Ex : - Tinggi gedung tersebut 20 meter

- Luas suatu daerah adalah 425,7 km

- Kecepatan mobil 60 km/jam

Ø Data Atribut : adalah data yang bersifat atau sejenis dengan data kualitatif, data yang menjelaskan kategori atau menggambarkan keadaan sesuatu yang sedang diteliti, seperti: sembuh, rusak, gagal, berhasil dan sebagainya.

Ø Data Intern : Merupakan data yang diperoleh atau yang terdapat didalam perusahaan seperti segala aktifitas perusahaan, keadaan pegawai, jumlah produksi pabrik, pengeluaran, keadaan barang digudang dll.

Ø Data exstern : Merupakan data yang dibutuhkan yang berasal dari luar perusahaan sebagai perbandingan atau masukan bagi perusahaan yang akan kita teliti.

Ø Data Primer : Data yang diperoleh secara langsung dari objek yg diteliti, keluarkan dan dikumpulkan yang bersumber dari badan yang sama seperti; Hasil wawancara dgn responden, hasil penghitungan suara di suaru daerah, jumlah mahasiswa yang diperoleh dari lembaga pendidikan, lalu lintas uang pada suatu bank.

Ø Data Skunder : Data yang diperoleh secara tidak langsung bersumber dari badan yang berbeda, seperti ; BPS (Badan Pusat Statistik) yang mengelola data laju inflasi, penambahan penduduk, statistic ekonomi, statistic pemerinatahan, data tingkat kemajuan suatu daerah dapat diketahui dari BAPEDA setempat dsb.

4. POPULASI DAN SAMPEL

Populasi : Sekumpulan objek yang akan dijadikan sebagai bahan penelitian dengan cirri mempunyai karakteristik yang sama.

Sampel : Bagian dari populasi

5. PENGUMPULAN DATA

6. PEMBULATAN ANGKA

BAB II

HIPOTESIS

A. Pengertian Hipotesis

Dari segi bahasaa hipotesis berasal dari bahasa Yunani, yaitu hupo yang memilki arti sementara, atau kurang kebenarannya atau masih lemah kebenarannya, dan kata kedua adalah thesis yang memeliki arti pernyataan atau teori. Dengan demikian hipotesis merupakan sebuah pernyataan sementara yang masih memerlukan pengujian kebenarannya.

Sedangkan menurut istilah hipotesis adalah pernyataan sementara yang perlu diuji kebenarannya, untuk menguji kebenaran hipotesis digunakan pengujian yang disebut dengan pengujian hipotesis atau pengetesan hipotesis (testing hypothesis), sedangkan pengertian hipotesis menurut fersi ststistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah kebenarannya, hipotesis statistic dapat berbentuk suatu variabel, seperti binominal, poisson, dan normal atau nilai dari suatu parameter, seperti rata-rata, varians, simpangan baku dan proporsi. Hipotesis ststistik harus di uji karena itu harus berbentuk kuantitas (dinyatakan dalam bentuk angka-angka), untuk dapat diterima atau ditolak.

Sedangkan perngujian statistic yaitu suatu prosedur yang menghasilkan suatu keputusan, yaitu keputusan menerima atau atau menolak hipotesis itu. Pengujian hipotesis merupakan bagian terpenting dari statistic inferensi (statistic induktif), karena berdasarkan pengujian tersebut, pembuatan keputusan atau pemecahan persoalan sebagi dasar penelitian lebih lanjut dapat terselesaikan.

B. Prosedur Pengujian Hipotesis

Prosedur pengujian statistic adalah langkah-langkah yang dipergunakan dalam menyelesaikan pengujian hipotesis tersebut. Langkah-langkah pengujian hipotesis statistic adalah sebagai serikut :

a. menetukan formulasi hipotesis

Formulasi atau perumusan hipotesis statistic dapat dibesakan atas dua jenis, yaitu sebagai berikut :

· Hipotesis Nol Atau Hipotesis Nihil

Hipotesis nol disimbolkan dengan H_oadalah hipotesis yang dirumuskan sebagai suatu pernyataan yang akan di uji, disebut hipotesis nol karena hipotesis tersebut tidak memiliki perbadaan atau perbedaannya nol dengan hipotesis sebenarnya.

· Hipotesis Alternatif Atau Hipotesis Tandingan

Hipotesis alternative dilambangkan dengan H₁atau H_a adalah hipotesis yang dirumuskan sebagai lawan atau tandingan dari hipotesis nol. Dalam menyususn hipotesis alternative, timbul 3 keadaan berikut :

1) H₁menyatakan bahwa harga parameter lebih besar dari pada yang dihipotesiskan. Pengujian ini disebut pengujian satu sis atau satu arah, yaitu pengujian sisi atau arah kanan.

2) H₁menyatakan bahwa harga parameter lebih kecil dari pada harga yang dihipotesisikan. Pengujian ini disebut pengujian satu sisi atau arah yaitu pengujian sisi atau arah kiri.

3) H₁menyatakan bahwa harga parameter tidak sama dengan harga yang dihipotesiskan.pengujian ini disebut pengujian dua arah atau dua sisi.

Secara umum formulasi hipotesis dapat dituliskan :

H₀ :

₀

H₁ :

₀

H₁ :

₀

H₁ :

₀

Apabila hipotesis nol diterima (benar) maka hipotesis alternative ditolak. Demikian pula sebaliknya, jika hippotesisn alternative diterima (benar) maka hipotesis nol ditolak.

C. Dua Macam Kesalahan

Dalam pengujian hipotesis akan terjadi dua macam kesalahan yaitu :

Kesalahan tipe 1 menolak hipotesis yang seharusnya tidak ditolak.

Kesalahan tipe dua tidak menolak hipotesis yang seharusnya ditolak.

Misalnya75 dari 100 berbuah dengan pemberian pupuk A misalnya, maka peneliti diharapkan dengan dua keputusan :

A. pupuk A nyatanya tidak lebih baik dari pupuk B meskipun 75% dari pohon telah berbuah. Karena mungkin saja hanya disebabkan kebetulan semata, saya tidak percaya bahwa pupuk A tidak lebih baik dari pupuk B walaupun 75 dari 100 pohon telah berbuah.

B. Walaupun saya percaya bahwa 75 dari 100 pohon telah berbuah sebagai reaksi dari pupuk A hanyalah sebagai kebetulan saja,kiranya cukupberalasan kalau saya percaya bahwa pupuk A lebih efektif dari pada pupuk B.

Jika peneliti memilh keputusan A di atas, maka ia telah melakukan kesalahan tipe 1, jika peneliti memilih keputusan B maka ia telah melakukan kesalahan tipe 2.

Hubungan antara hipotesis,kesimpulan dan tipe kesalahan dapat digambarkan seperti table dibawah ini :

TIPE KESALAHAN

KESIMPULAN	Keadaan sebenarnya
KESIMPULAN	H_obenar	H_osalah
Menerima H_o	Benar	Kesalahan 1
Menolak H_o	Kesalahan 2	Benar

Taraf signifikan dinyatakandalamdua atau tiga decimal atau dalam persen. Lawan dari taraf signifikan atau tanpa kesalahan ialah taraf kepercayaan. Jika taraf signifikan = 5% maka dengan kata lain dapat disebut taraf kepercayaan. = 95% . demikian seterusnya.

Dalam penelitian social besarnya alpa a bisa diambil 5% atau 1%. Penentuan besarnya alpa a tergantung pada keinginan peneliti sebelum analisis statistik dilakukan.

D. Langkah-Langkah Hipotesis

1. tulis H_adan H_odalambentuk kalimat

2. tulis Ha dan Ho dalambentuk statistik.

3. hitung t_hitatau Z_hit (salah satu tergantung o tak diketahui atau diketahui)

4. tentukan taraf signifikan (a)

5. cari t_tabel dengan ketentuan

a seperti langkah 4,

dk = n – 1

dua pihak atau pihak kanan atau puhak kiri tergantung bunyi Ho dengan menggunakan tabel t diperoleh t_tabel atau z_tabel.

6. tentukan kriteria pengujian

7. bandingkan thitung dengan ttabel atau zhitung dengan z_tabel.

8. membuat kesimpulan

DISTRIBUSI TEORETIS

A. Variabel Random

Variabel random atau variabel acak adalah variabel yang nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam suatu ruang sampel. Misalnya, pelemparan sebuah dadu sebanyak 6 kali maka munculnya angka 1 sebanyak 0, 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 kali merupakan suatu kesempatan.

Variabel Random ada dua yaitu:

1. Variabel Random Diskrit

Variabel random diskrit adalah variabel random yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya bilangan bulat dan asli, digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.

1 2 3 4 5 6

Contoh:

1. Banyaknya pemunculan sisi muka atau angka dala pelemparan sebuah koin (uang logam).

2. Jumlah anak dalam sebuah keluarga.

Jika nilai yang mungkin dari variabel random X, yaitu himpunan hasil pemetaan adalah

, berhingga atau tak berhingga, tetapi terbilang (himpunan terbilang adalah himpunan yang semua anggotanya dapat disebut satu per satu) maka X disebut suatu fariabel random diskrit. Dengan demikian, X dapat mengambil nilai dari:

Contoh Soal:

Dua buah kotak masing-masing berisi 1 bola yang bertuliskan angka 1, 2, 3, 4. dari kotak I dan II masing-masing diambil sebuah bola secara random. Tentukan nilai dari variabel random yang menyatakan jumlah kedua angka pada bola yang terambil!.

Penyelesaian:

Dari pengambilan bola pada kotak I dan II, diperoleh titik sampel sebanyak 16 Jika Y menyatakan jumlah kedua angka pada bola yang terambil maka:

Y (1,1) = 2

Y (1,2) = 3

Y (1,3) = 4

dan seterusnya Sehingga, daerah hasil dari variabel random y adalah

2. Variabel Random Kontinu

Variabel random kontinu adalah variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat bilangan bulat maupun pecahan, jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik yang bersambung membentuk suatu gasis lurus sebagai berikut:

Nilai variabel random kontinu dapat terjadi di manapun dalam interval itu,

Contoh:

1) Usia penduduk suatu daerah.

2) Panjang beberapa helai kain.

Jika nilai yang mungkin dari variabel random X (hasil dari X) merupakan semua nilai dalam suatu interval atau banyaknya hasil pemetaan tak terbilang, maka X disebut variabel random kontinu. Misal, daerah hasil dari variabel random kontinu X adalah:

~ < y < ~, y bilangan real}

Contoh soal:

Pada label kawat baja, tertulis diameter 2 ± 0,0005 mm. Tentukan nilai dari variabel random yang menunjukkan diameter kawat tersebut!

Penyelesaiannya:

Diameter kawat baja tidak boleh kurang dari 2 – 0,0005 mm = 1,9995 mm dan tidak boleh lebih dari 2 + 0,0005 mm = 2,0005 mm, sehingga daerah hasil dari variabel random X adalah

bilangan real}.

B. Pengertian Dan Jenis-Jenis Distribusi Teoretis

Pengertian Distribusi Teoretis

Distribusi teoretis atau distribusi probalititas teoretis adalah suatu daftar yang disusun berdasarkan probabilitas dari peristiwa-peristiwa bersangkutan. Frekuensi dari distribusi tiu diperoleh melalui perhitungan-perhitungan, karena itu distribusi teoretis dapat pula diartikan sebagai distribusi yang frekuensinya diperoleh secara matematis (perhitungan).

Tabel. Hasil pelemparan sebuah mata uang logam sebanyak 4 kali

x	P(X)
0 1 2 3 4	0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625
Jumlah	1,00

Contoh soal:

Sebuah mata uang logam dengan permukaan I = A dan permukaan II = B dilemparkan ke atas sebanyak 3 kali. Buatlah distribusi teoretisnya dan gambarkan grafiknya!

Penyelesaian:

Dari pelembaran tersebut akan diperoleh ruang sampel dengan anggota sebanyak 8 (n = 8), yaitu :

S = { AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BBA, BAB, BBB}

Jika X merupakan jumlah munculnya permukaan I (A) maka:

1. Untuk AAA, didapat X = 3

2. Untuk AAB, didapat X = 2

3. Untuk ABA, didapat X = 2

4. Untuk BAA, didapat X = 2

5. Untuk ABB, didapat X = 1

6. Untuk BBA, didapat X = 1

7. Untuk BAB, didapat X = 1

8. Untuk BBB, didapat X = 0

Dengan demikian nilai X = {0, 1, 2, 3}

Jika setiap nilai X dicari nilai probabilitasnya, maka distribusi teoretisnya adalah seperti tabel berikut.

Tabel. Hasil Pelemparan Sebuah Mata Uang Logam Sebanyak 3 Kali

X	P(X)
0 1 2 3	0,125 0,375 0,375 0,125
Jumlah	1,000

2. Jenis-Jenis Distribusi Teoretis

Distribusi teoretis, berdasarkan bentuk variabelnya, dibedakan atas dua jenis, yaitu distribusi teoretis diskrit dan distribusi teoretis kontinu.

a. Distribusi teoretis diskrit

Distribusi teoretis diskrit adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut.

Misalnya X adalah variabel random diskrit dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi probabilitas atau distribusi dari variabel random diskrit (distribusi teoretis diskrit) jika memenuhi syarat:

Contoh soal:

Di dalam kotak terdapat 4 bola biru dan 2 kuning. Secara acak diabil 3 bola. Tentukan distribusi probalitas, X, jika X menyatakan banyaknya bola kuning yang terambil!

Penyelesaian:

Jumlah titik sampel adalah

titik sampel.

Banyaknya cara mendapatkan bola kunig adalah

Banyaknya cara mendapatkan bola biru adalah

Distribusi probalitasnya dinyatakan dengan:

Untuk X = 0

Untuk X = 1

Untuk X = 2

Distribusi probalitasnya adalah

X	0	1	2
P(X)	0,2	0,6	0,2

b. Distribusi teoretis kontinu

Distribusi teoretis kontinu adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel random kontinu dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut.Misalnya X adalah variabel random kontinu dari ruang sampel S. Suatu fungsi f dikatakan merupakan fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas variabel random kontinu X, jika memenuhi syarat:

Distribusi probabilitas dari variabel random kontinu disebut juga densitas atau fungsi densitas (fungsi kepadatan) dari variabel random tersebut.

Contoh soal:

Suatu variabel random kontinu X yang memiliki nilai antara X = 1 dan X = 3 memiliki fungsi densitas yang dinyatakan oleh

Tentukan nilai P(X < 2)!

Penyelesaian:

P (X < 2) = P (1 < X < 2)

Distribusi yang tergolong distribusi teoretis kontinu, antara lain

1) distribusi normal

2) distibusi

3) distribusi F, dan

4) distribusi t.

C. Nilai Harapan/Rata-Rata Hitung Distribusi Teoretis

Nilai harapan atau harapan matematika dari distribusi teoretis sebenarnya adalah nilai rata-rata hitung tertimbang jangka panjang dari distribusi teoretis itu, disimbolkan E(X) atau m. Misalnya X adalah suatu variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) atau P(X = x) maka nilai harapannya atau rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut.

1. Untuk distribusi probabilitas diskrit

E (X) = m = åx . f(x), atau

E(X) = m = å (x . P(x)

2. Untuk distribusi probabilitas kontinu

Contoh Soal:

1. Sekelompok ahli sebuah perusahaan terdiri atas 4 orang ahli manajemen dan 3 orang ahli akuntansi. Akan dibentuk suatu komisi yang terdiri atas 3 orang (komisi tiga). Jika anggota komisi tiga diambil secara acak dari ke-7 ahli tersebut, tentukan nilai harapan banyaknya ahli manajemen yang dapat duduk dalam komisi tiga tersebut!

Penyelesaian:

Misalkan X adalah banyaknya ahli manajemen dalam komisi tiga maka variabel random X dapat memiliki nilai 0, 1, 2, 3. distribusi probabilitas dari variabel X dapat dihitung dengan menggunakan pendekatan komvinasi.

Distribusi probabilitasnya adalah

x	0	1	2	3
f(x)

Nilai harapan ahli manajemen yang dapat duduk dalam komisi tiga adalah

= 1, 7

Dari hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa andaikan komis tiga itu dibentuk berulang-ulang maka diharapkanya ahli manajemen dalam setiap komisi yangterbentuk adalah 1,7 atau 2 orang (sebagai pendekatan).

D. Varians Dan Simpangan Baku Distibusia Teoretis

Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku (deviasi standar) dari distribusi teoretis atau distribusi probabilitas (variabel random X) dapat dihitung, yaitu:

atau

Contoh soal:

1. Misalkan variabel random X memiliki distribusi probabilitas sebagai berikut:

X	0	1	2	3
f(x)

Tentukan Var (X) dan simpangan bakunya.

Penyelesaian:

= 2

= 4,67

= 0,67

= 0,82

2. Lama hidup jenis binatang tertentu dalam tahun dinyatakan dengan fungsi densitas berikut.

= 0, untuk x yang lain

Tentukan varians dan simpangan baku lama hidup dari seekor binatang untuk jenis tersebut.

Penyelesaian:

- Perhitungan varians

tahun

- Perhitungan simpangan baku

tahun

E. Distribusi Binomial

1. Pengertian dan Ciri-Ciri Distribusi Binomial

Distribusi binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh Jemes Bernoulli) adalh suatu distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya tidak, baik-cacat, kepala-ekor.

Distribusi ini memiliki ciri-ciri berikut.

1) Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya-tidak, sukses, gagal.

2) Probabilitas satu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan.

3) Percobaannya bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan

4) Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

Contoh:

Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban. Jika dalam menjawab pertanyaa, mahasiswa tersebut berspekulasi maka probabilitas pertanyaan adalah

1) Untuk menjawab benar,

2) Untuk menajwab salah,

Misalnya susunan 5 jawaban benar adalah B B B B B S maka:

P (B B B B B S) = P(B) P(B) P(B) P(B) P(B) P(S)

Kemungkinan lain susunan 5 jawaban benar adalah B B B S B B, sehingga:

P (B B B S B B) = P(B) P(B) P(B) P(S) P(B) P(B)

Ternyata, probabilitas 5 jawaban benar dari 6 pertanyaan adalah sama untuk susunan mana pun. Banyaknya kemungkinan susunan 5 benar dan 1 salah dapat dicari dengan menggunakan rumus kombinasi.

Untuk kasus di atas, memiliki n = 6, x = 5, sehingga terdapat

2. Rumusan Distribusi Binomial

Rumus binomial suatu peristiwa

Dari uraian dan contoh sebelumnya, diketahui bahwa probabilitas suatu peristiwa dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabilitas salah satu susunan. Berdasarkan hal tersebut, secara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan.

Keterangan:

x = banyaknya peristiwa sukses

n = banyaknya percobaan

p = probabilitas peristiwa sukses

q = 1 – p = probabilitas peristiwa gagal

Contoh soal:

1. Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak 4 kali. Tentukan probabilitas dari persitiwa berikut!

a. Mata dadu 5 muncul 1 kali

b. Mata dadau genap muncul 2 kali

c. Mata dadu 2 atau 6 muncul sebanyak 4 kali

Penyelesaian:

a) Karena dadu memiliki 6 sisi, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehingga setiap sisi memiliki probabilitas

Jadi, probabilitas untuk mata 1 adalah

sehingga:

b) Mata dadu genap ada 3, yaitu 2, 4, dan 6, sehingga:

= 0,375

c) Muncul mata dadu 2 atau 6 sebanyak 4 kali, sehigga:

= 0,0123

Probabilitas binomial kumulatif

Probabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses.

Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

PBK =

Contoh soal:

Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah probabilitas:

a. Paling banyak 2 orang lulus,

b. Yang akan lulus antara 2 sampai 3 orang

c. Paling sedikit 4 di antaranya lulus!

Penyelesaian:

a. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 0,1, dan 2

= 00,16

b. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x= 2 dan 3

c. n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 4 dan 5

3. Rata-Rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Binomial

Secara umum, nilai rata-rata

varians

, dan simpangan baku

dapat dicari berdasarkan distribusi probabilitasnya, dengan pendekatan sebagai berikut.

1) Untuk rata-rata

2) Untuk varians

3) Untuk simpangan baku;

Secara singkat, nilai rata-rata, varians, dan simpangan baku distribusi binomial dapat dihitung dengan rumus:

1) rata-rata

2) varians

3) simpangan baku

Contoh soal:

1. Suatu distribusi binomial memiliki

Tentukan nilai rata-rata, varians, dan simpangan bakunya.

Penyelesaian:

Rata-rata

= 1,5

Varians

Simpangan baku

= 1,06

2. Pada pelemparan 4 mata uang logam sebanyak 50 kali, terdapat distribusi sebagai berikut :

X	0	1	2	3	4
f	3	10	5	17	15

Jika X = gambar angka, tentukan probabilitas sukses keluarnya gambar angka tersebut (p)!

Penyelesaian :

F. Distribusi Hipergeometrik

1. Pengertian Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik juga termasuk distribusi teoretis yang menggunakan variabel diskrit dengan dua kejadian yang berkomplemen, seperti halnya distribusi binomial.

Perbedaan yang utama antara distribusdi binomial dan distribusi hipergeometrik adalah pada cara pengambilan sampelnya. Pada distribusi binomial pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.

2. Rumus Distribusi Hipergeometrik

Secara umum, distribusi hipergeometrik dirumuskan:

Keterangan:

N = Ukuran populasi

n = Ukuran sampel

k = Banyaknya unsur yang sama pada populasi

x = Banyaknya peristiwa sukses

Contoh Soal:

Sebuah kotak berisi 50 bola, 5 di antaranya pecah. Apabila diambil 4 bola, berapa probabilitas dua di antaranya pecah?

Penyelesaian:

= 0,043

H. Distribusi Poisson

1. Pengertian dan Ciri-Ciri Distribusi Poisson

Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi.

Distri Poisson mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.

b. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yant terjadi di luar interval waktu atau daerah tersebut.

c. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.

2. Rumusan Distribusi Poisson

a. Rumus probabilitas Poisson suatu peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan

Keterangan :

= rata-rata terjadinya suatu peristiwa

e = bilangan alam = 2,71828

Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses Poisson dirumuskan

Keterangan :

= Tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu

t = Banyaknya waktu

x = Banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu

contoh soal:

1. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson, berapa probabilitas untuk penjualan berikut?

a. 0 lampu TL

b. 3 lampu TL

Penyelesaian:

b. Probabilitas distribusi Poisson kumulatif

Probabilitas Poisson kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa Poisson lebih dari satu. Probabilitas Poisson kumulatif dapat dihitung dengan rumus;

PPK =

Contoh soal:

1. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson.

Penyelesaian:

c. Distribusi Poisson sebagai pendekatan distribusi binomial

Distribusi Poisson sebagai pendekatan distribusi binomial dirumuskan:

Keterangan:

np = rata-rata distribusi binomial

Contoh soal:

Sebuah konveksi pakaian menggunakan 20 mesin jahit. Probabilitas sebuah mesin jahit mengalmi dan memerlukan perbaikan adalah 0,02. Tentukan probabilitas dari 3 mesin yang akan mengalami gangguan dan memerlukan perbaikan, gunakan pendekatan Poisson dan binomial!.

Penyelesaian:

Pendekatan Poisson

= 0,0072

Pendekatan Binomial

= (1.140) (0,000008) (0,71)

= 0,0065

3. Rata-rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Poisson

Distribusi Poisson memiliki rata-rata (mean), varians, dan simpangan baku sebagai berikut.

a. Rata-rata:

b. Varian:

c. Simpangan baku:

I. Distribusi Normal

1. Pengertian dan Ciri-Ciri Distribusi Normal

Distribusi normal adalah salah satu distribusi teoretis dari variabel random kontinu. Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss.

Distribusi normal memiliki bentuk fungsi sebagai berikut.

Keterangan:

x = Nilai data

= 3,14

= Simpangan baku

= Rata-rata x

e = 2,71828 » 2,72

Distribusi normal adalah merupakan distribusi yang simetris dan berbentuk genta atau lonceng. Pada bentuk tersebut ditunjukkan hubungan ordinat pada rata-rata dengan berbagai ordinat pada berbagai jarak simpangan baku yang diukur dari rata-rata.

Dalam bentuk diagram atau kurva (disebut kurva normal) Kurva tersebut dipengaruhi oleh rata-rata

dan simpangan baku

. Jika rata-rata (

besar dan sampingan baku

besar maka kurvanya makin rendah (platikurtik). Jika rata-rata

dan simpangan baku

kecil maka kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

Dari bentuk kurva tersebut normal dapat diketahui sifat-sifat distrbusi normal, yaitu sebagai berikut:

1) Bentuk distribusi normal adalah bentuk genta atau lonceng dengan satu puncak (unimodal)

2) Rata-rata

terletak di tengah-tangah.

3) Nilai rata-rata sama dengan median sama dengan modus yang memberikan pola simetris.

4) Ujung-ujung sisi kurvanya sejajar dengan sumbu horizontal (sb-X) dan tidak akan pernah memotong sumbu tersebu.

5) Data sebagian besar ada di tengah-tengah dan sebagian kecil ada di tepi yaitu:

a) Jarak ± 1

menampung 68% atau 68,26% data:

b) Jarak ± 2

menampung 95% atau 95,46% data;

c) Jarak ±

menampung 99 % atau 99,74% data.

2. Distribusi Normal Standar

Keluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata-rata dan simpangan baku. Akan tetapi, untuk mencari probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu dapat dipermudah dengan menggunakan bantuan distribusi normal standar.

Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata

= 0 dan simpangan baku

= 1. Bentuk fungsinya adalah:

Dalam bentuk diagram atau kurva (disebutkan kurva normal standar. Dari bentuk kurva distribusi normal standar tersebut, dapat diketahui sifat-sifat distribusi tersebut, yaitu.

1) Kurva simetris terhadap sumbu Y;

2) Mempunyai titik tertinggi

3) Cekung ke bawah untuk interval X = -1 sampai X = + 1 dan cekung ke atas untuk nilai X secara cepat begitu bergerak dari X = 0 ke kiri maupun ke kanan;

4) Luas seluruh daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X sebesar 1 unit.

Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standar, gunakan nilai Z (standar units). Bentuk rumusnya adalah

Keterangan:

Z = Variabel normal standar

X = Nilai variabel random

= Rata-rata variabel random

= Simpangan vaku variabel random

Nilai Z (standard units) adalah angka atau indeks yang menyatakan penyimpangan suatu nilai variabel random (X) dari rata-rata

dihitung dalam satuan simpangan baku

3. Penggunaan Kurva Normal Standar

Untuk menentukan laus daerah di bawah kurva normal standar, telah dibuat daftar distribusi normal standar, yaitu tabel luas kurva normal standar dengan nilai-nilai Z tertentu (lihat lampiran). Dengan daftar tersebut, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari.

Karena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap

= 0 maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5, dan diartikan: P (Z>0) = 0,5. Luas daerah di bawah kurva normal pada interval tertentu dapat dituliskan: P (0 < Z < b).

4. Rata-Rata, Varians, dan Simpangan Baku Distribusi Normal

Distribusi normal memiliki rata-rata, varians, dan simpangan baku sebagai berikut;

a. Rata-rata:

b. Varians:

c. Simpangan baku:

J. Hubungan Antara Distribusi Normal (Kurva Normal) Dan Distribusi Binomial

Distribusi binomial akan mendekati distribusi normal jika nilai p sama dengan

dan nilai n besar. Namun dalam prakteknya, distribusi normal (kurva normal) dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus distribusi binomial (probabilitas binomial) sekalipun p tidak sama dengan

dan n relatif kecil.

Seperti diketahui, distribusi binomial bervariabel diskrit sedangkan distribusi normal (kurva normal) bervariabel kontinu. Karena itu, penggunaan distribusi normal (kurva normal) untuk menyelesaikan kasus distribusi binomial dapat dilakukan dengan menggunakan aturan (penyesuaian), yaitu menggunakan faktor koreksi. Caranya ialah menambahkan atau mengurangi variabel X-nya dengan 0,5, sebagai berikut.

1) Untuk batas bawah (kiri), variabel X dikurangi 0,5.

2) Untuk batas atas (kanan), variabel X ditambah 0,5

Dengan demikian, rumus Z-nya menjadi:

Dengan

i = 1,2

Contoh Soal:

1. Sebuah uang logam yang setimbang memiliki permukaan angka (A) dan gambar (G), dilemparkan ke atas sebanyak 15 kali. Tentukan probabilitas utuk mendapatkan 10 kali permukaan gambar (G) (gunakan distribusi binomial dan kurva normal)!

Penyelesaian

a. Menggunakan distribusi binomial