Minggu, 25 November 2012

STATISTIK NON PARAMETIK

14.57    No comments


STATISTIK NON PARAMETIK


1        Statistik Non parametik digunakan apabila :
1.      Sampel yang digunakan berukuran kecil.
2.      Data yang digunakan bersifat Ordinal ; data yang bias disusun dalam ukuran atau dapat diklasifikasikan rengkingnya secara berurutan.
3.      Data bersifat Normal ; dapat diklasifikasikan dalam kategori dan dihitung frekwensinya.
4.      Bentuk distribusi populasi dan tempat pengambilan sampel tidak diketahui, menyebar secara acak.
5.      Ingin menyelesaikan masalah statistic secara tepat tanpa menggunakan alat hitung.
2        Langkah-langkah Pengujian Statistik Non Parametik :
1)      Menentukan Formasi Hipotesis
2)      Menentukan Taraf nyata dan Nilai Tabel
3)      Menentukan Kriteria Pengujian
4)      MenentukanNilai Uji Statistik
5)      Membuat Kesimpulan

STATISTIK NON PARAMETIK   I
UJI  TANDA
( Sign Test)

Nilai uji tanda merupakan nilai dari probabilitas hasil sampel (lihat table probabilitas) binomial dengan  n,r tertentu, dan p = 0,5. Untuk nilai r = jumlah tanda nilai terkecil.
Prosedur Uji Statistik adalah sebagai berikut :

1)      Menentukan Formulasi Hipotesis
Ho  :     Probabilitas terjadinya nilai Positif dan tanda negative adalah sama.
H1  :     Probabilitas terjadinya nilai Positif dan tanda negative adalah berbeda

2)      Menetukan Taraf nyata (α)
Pengujian dapat berbentuk satu sisi atau dua sisi
3)      Menentukan Kriteria Pengujian
a.       Pengujian satu sisi
Ho  diterima bila α ≤ probabilitas hasil sampel
Ho  ditolak bila α > probabilitas hasil sampel
b.      Pengujian dua sisi
Ho diterima bila α ≤ 2probabilitas hasil sampel
Ho  ditolak bila α > 2probabilitas hasil sampel
4)      Menentukan Nilai Uji Statistik
Merupakan nilai dari probabilitas hasil sampel (lihat table probabilitas binomial n, r tertentu dan p=0,5) dimana r = jumlah tanda yang terkecil.
5)      Membuat Kesimpulan
Menyimpulkan Ho diterima atau ditolak
Catatan :
Untuk sampel besar (n ≥ 30), uji statistiknya adalah
Keterangan :
r           = Jumlah tanda positif
n          = Jumlah pasangan observasi yang relevan

Langkah-langkah pengujiannya sama dengan langkah pengujian sebelumnya menggunakan distribusi Z


Contoh Soal :
Direktur PT. Mondar Mandir ingin mengukur peningkatan mutu kerja karyawan setelah memberlakukan kenaikan gaji. Untuk itu diambil sampel sebanyak 10 orang karyawan yang dipilih secara random dan didapatkan hasil sebagai berikut :
Karyawan
Produktivitas kerja sebelum  (X1)
Prodoktivitas kerja Sesudah  (X2)
Perbedaan  Tanda    (X2-X1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
71
91
86
60
83
70
72
65
80
72
72
88
82
67
88
67
75
75
90
76
+
-
-
+
+
-
+
+
+
+

Didapat hasil “ +” adalah = 7 dan tanda “─” adalah = 3 dan untuk nilai 0 diabaikan atau dinyatakan gugur.
a.       Formasi Hipotesis
Ho : p = 0,5 (tidak ada peningkatan mutu kerja )
H1 : p > 0,5 ( ada peningkatan mutu kerja )
b.      Taraf nyata dan Nilai Tabel
α = 5% = 0,05
c.       Kriteria Pengujian
Ho diterima jika 0,05 ≤ probabilitas hasil sampel
Ho ditolak jika 0,05 > probabilitas hasil sampel
d.      Nilai Uji Statistik
n = 10,  r = 3, dan p= 0,05
probabilitas hasil sampel adalah = 0,001 + 0,010 + 0,044 + 0,117 = 0, 172
e.       Membuat Kesimpulan
Karena α = 0,05 < probabilitas hasil sampel = 0,172, maka Ho di terima, berarti tidak ada peningkatan mutu kerja karyawan setelah gaji dinaikkan.

STATISTIK NON PARAMETIK  2
UJI WILCOXON
(The Signed Rank Test)


Pertama kali diperkenalkan oleh Frannk Wilcoxon pada tahun 1945

Langkah-langkahnya :

a. Menentukan formulasi Hipotesis
Ho : Jumlah tanda (+) dan (-) adalah sama              ( tidaka ada perbedaan)
H1 : Jumlah tanda (+) Dan (-) adalah berbeda        (ada perbedaan)

b. Menentukan taraf nyata (α) dengan T tabelnya
Pengujian dalam bentuk satu sisi atau dua sisi.
Nilai Statistik untuk “U” berdasarkan rumus :

  dimana :

 

Jika n > 20 maka distribusi normal  sebagai test statistiknya adalah :


Atau jika n > 25


c.       Menetukan Kriteria uji
Bentuk satu sisi :
Ho di Terima jika To ≥ T
Ho di Tolak jika To < T

Bentuk dua sisi :
Ho diterima bila α < U
Ho ditolak bila α ≥ U
           

d.      Membuat Kesimpulan
Apakah Ho di terima atau di Tolah

4        Contoh Soal :

Untuk mengetahui apakah penemuan suatu vaksin yang baru dapat mengobati penyakit tertentu serta mempengaruhi umur dari hewan tersebut, maka diambil sempel sebanyak 9 ekor sapi ; 5 diantaranya diberi vaksin dan 4 tidak sama sekali,  datanya sebagai berikut :
Umur sapi (th)
n1 = 4 ( tanpa vaksin)
n2 = 5 ( diberi vaksin)
1,9    0,5    2,8    3,1
2,1    1,4    5,3    4,6    0,9

Ujilah dengan α =5% apakah ada pengaruh yang cukup berarti dalam pemberian vaksin tersebut.

5        Penyelesaian :\

1.      Membuat formulasi hipotesis :
Ho = rata-rata umur sapi yang diberi dan tidak diberi vaksin adalah sama
H1 = rata-rat umur sapi yang diberi dantidak diberi vaksin berbeda

2.      Menetukan Rengking

Data secara urutan    : 0,5    0,9    1,4    1,9   2,1   2,8   3,1   4,6   5,3
Rangking                 :  1   (2)   (3)    4   (5)   6    7   (8)  (9)

Dari hasil pemberian rengking tersebut dpt dilihat bahwa rengking sapi yang diberi vaksin menduduki rengking : 2, 3, 5, 8 dan 9  dan dari hasil ini maka nilai W1 dan W2 dpt dihitung sbb :


            W1= 1+4+6+7 = 18
            W2= 2+3+5+8+9 = 27 atau





3.      Nilai kritis U untuk α= 5% adalah :
Maka diperoleh hasil:
n1 = 4
n2 = 5
α = 0,05
U = 8 (nilai terkecil)
U tab = 0,365 (lihat tabel wilcoxon)

4.      Kesimpulan

Ho diterima jk α < 0,365
Ho ditolak jk α ≥ 0,365
Maka dapat disimpulakan Ho diterima karena 0,05 < 0,365, hal ini berarti bahwa pemberian vaksin terhadap sapi tersebut tidak  mempengaruhi umur sapi yang ada, dengan resiko kekeliruan sebesar 5%.














Latihan-latihan :

1.    suatu metode diet baru dikatakan dapat menurunkan berat badan seseorang dalam waktu 2 minggu. Berat dari 10 wanita yang dipilih secara acak yang mengikuti program diet dicatat sebelum dan sesudah periode 2 minggu, datnya sbb :

wanita
Berat sebelum
Berat sesudah
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
78
64
73
79
80
67
82
65
70
64
70
73
70
80
78
63
87
63
68
65
Ujilah dengan menggunakan uji tanda dengna taraf signifikan sebesar 5%

2.      Dibawah ini terdapat data mengenai kadar lemak yang terdapat dalam 2 merek susu bubuk dalam satuan gr lemak untuk tiap 2kg susu bubuk tersebut :




(kadar lemak susu dalam gram)
Merek A (n1) : 23,3   22,1    26,1   24,0  26,3   25,4   24,8  23,7

Merek B (n2) :  24,1   20,6   23,1   22,5   24,0   26,0  21,6  22,2   21,9  25,4

Ujilah dengan α = 5% pada kedua merek susu bubuk diatas dengan menggunakan test wilcoxon.



STATISTIK NON PARAMETIK   3
U-TEST
(The Mann – Whitney Test)

Digunakan untuk menguji rata-rata dari dua sampel berukuran tidak sama. Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney pada tahun 1947

Langkah-langkah pengujiannya ialah sebagai berikut :
a.       Menentukan formulasi Hipotesis
Ho : Dua sampel independen memiliki rata-rata yang Tidak sama
H1 : Dua sampel independen memiliki rata-rata yang Sama

b.      Tentukan rengking dari data yang ada, dengan asumsi bahwa rengking 1 adalah nilai yang paling rendah, rengking 2 untuk nilai yang lebih tinggi dan seterusnya

c.       Setelah memberikan rengking yang sesuai dengan nilai yang dicapai, maka kita dapat menjumlahkan nilai rangking yang diperoleh pada setiap grup atau daerah yaitu R1 untuk grup 1 dan R2 untuk grup 2.

d.      Setelah R1 dan R2 diperoleh maka kita mencari besar nilai U statistiknya yaitu :

   atau   

Nilai U yang diambil adalah nilai Uterkecil.



e.       Selanjutnya kita mencari nilai harapan (expected  value) mean dan standar devisisasi, yaitu :

           
           

 

f.       Membuat kesimpulan Ho diterima atau ditolak
Ho diterima jika Zhit ≤ Ztab
Ho ditolak jika Zhit ≥ Ztab

Contoh Soal :

  1. Berikut ini data mengenai gaji Sarjana Ekonomi dan Sarjana Pertanian (dalam ratusan ribu rupiah) :

Sampel I
3     8     2     5     4
Sampel II
7     1     11    9     8     6    10

Ujilah dengan α= 5%, apakah rat-rata kedua sampel tersebut, yaitu gaji SE dan SP sama ?


Jawab :

Sampel I
Urutan / Rengking
 Sampel II
 Urutan/ Rengking
3
8
2
5
4
3
8,5
2
5
4
7
1
11
9
8
6
10
7
1
12
10
8,5
6
11

R1= 22,5

R2 = 55,5



             

  1. Formulasi hipotesis :
Ho : µ1 = µ2
H1 : µ1 > µ2

  1. Taraf nyata (α) dan nilai U table :
α = 5% = 0,05
n1= 5
n2 =7
U0,05 (5)(7) = 11 (lihat Tabel hal 368)

  1. Kriteria Pengujian :
Ho diTerima Jika U ≥ 11
Ho di Tolak jika U < 11
  1. Nilai Statistik U adalah :
Uhit = 7,5
U tab = 11

  1. Kesimpulan :

Karena Uhit= 7,5 < U0,05(5)(7) = 11, maka Ho di Tolak berarti rata-rata sampel  I tidak sama dengan rat-rata Sampel  II


  1. Ujian ekonomi mikro diberikan kepada 20 orang siswa Universitas Terbuka yang dipilih secara random untuk wilayah DKI, dan ujian yang sama pula diberikan kepada 15 orang mahasiswa Universitas Terbuka yang dipilih secara random di wilayah Ujung Pandang (Sulsel). Dari hasil ujian yang diperoleh di dua tempat (daerah) diatas DKI dan Sulsel menunjukkan nilai ujian tiap mahasiswa sebagai berikut :

No
DKI
Rengking
Sulsel
Rengking
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
70
63
78
71
82
93
96
61
72
63
56
82
66
76
67
61
74
86
64
93
17
9,5
26
18,5
29,5
33,5
35
7,5
20,5
9,5
4,5
29,5
12,5
24,5
14,5
7,5
23
31
11
33,5
R1= 398
72
67
56
69
71
59
55
88
79
49
76
53
66
73
80
20,5
14,5
4,5
16
18,5
6
3
32
27
1
24,5
2
12,5
22
28
R2 = 232

Langkah-langkahnya :

Urutan nilai  : 49  53   55   56   56   59   61   61   63   63   64   66   66   67   67  
Rengking    :  1   2    3    4     5    6    7    8     9   10   11   12   13   14   15  

Urutan nilai  : 69  70  71   71   72   72   73   74   76   76   78   79   80   82   82  
Rengking    : 16  17  18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   30  

Urutan nilai  : 86   88    93   93   96
Rengking    : 31   32    33   34   35


2. Selanjutnya hitung U Statistik dengan format atau formula :
      

      
3. Menentukan Mean :

          

4.  Standar devisiasi :

        


5. Test Statistik :
     

6.  Nilai Kritis untuk α=5% = 0,05 (pengujian 2 sisi ) menghasilkan nilai krisis ± Z½α = 1,96         

7. Kesimpulan ;
   Ho Di Terima karena Zhit = -1,26 ≤  Ztab= 1,96, hal ini berarti tingkat kepandaian                     mahasiswa DKI dengan Mahasiswa Ujung Pandang tidak sama dengan tingkat resiko sebesar 5%



STATISTIK NON PARAMETIK  4
KEI  KUADRAT  TES
(CHY Squere Test)


Sering kali penelitian yang di lakukan, para pengamat tertarik pada masalah yang berhubugan dengan suatu objek ataupun respon yang pada dasarnya objek atau respon tersebut dapat dibagi ke berbagai macam  kategori. Sebagai contohnya; sekelompok pasien dapat dikategorikan menurut respon mereka terhadap perlakuan tertentu yang diberikan kepadanya, atau kelompok anak-anak dikategorikan menurut (jenis) permainan yang mereka sukai. Untuk menganalisa gejala-gejala seperti contoh diatas, maka metode X2 dapat digunakan. Selain itu dalam analisis selanjutnya jumlah kategori dapat dibagi kedalam 2 macam kategori atau lebih tergantung dari objek atau respon yang ingin diamati.

Dalam metode ini Ho dapat diuji dengan cara satu sisis yaitu :


Dimana :

Oi  = Nilai pengamatan yang diperoleh pada kategori yang ke i
Ei  = Nilai harapan pada kategori yang ke i
Bila perbedaan antara Oi dan Ei relative kecil, maka X2 juga akan semakin kecil dan sebaliknya jika perbedan antara Oi dan Ei sangat besar, maka X2 juga akan menjadi besar. Konsekwensinya adalah semakin besar X2, maka ada kemungkinan hasil pengamatan yang di peroleh selama penelitian bukan berasal dari populasi di mana Ho tersebut didasarkan pada pengujian X2 ini, Distribusi dari X2 memiliki derajat kebebasan k-1 qtqu ( df (k-1). Untuk kasus 1 macam sampel dimana memiliki k kategori dan jumlah pengamatan sebesar N, maka untuk setiap sel kategori nilai harapannya (Ei) sebesar

Jika Ho menyatakan bahwa proporsi tiap kategori sama, maka kita mengharapkan bahwa Ei = Oi. Sedangkan hipotesisi alternatifnya adalah Ei ≠ Oi
CONTOH SOAL
Mahasiswa fakultas biologi ingin mencoba suatu penelitian guna membuktikan benar tidaknya teori Mendel. Dari teori mendel tersebut dikatakan bahwa hasil percobaan secara kriptomeri akan memperoleh perbandingan secara proporsi sebagai berikut : 9 : 3 : 3 : 1
Dari hasil percobaan yang dilakukan terhadap tanaman kacang tanah diperoleh hasil pengamatan sebagai berikut:

Ø  Ada 530 pohon kacang menghasilkan biji kacang bulat dan berwarna merah.
Ø  Ada 150 pohon kacang menghasilkan biji kacang lonjong dan berwarna merah meda.
Ø  Ada 175 pohon kacang menghasilkan biji kacang bulat dan berwarna coklat muda
Ø  Dan 55 pohon kacang menghasilkan biji kacang bulat dan berkulit agak keriput.

Pertanyaan :
Dari Hasil percobaan diatas, apakah ada bukti bahwa kita meragukan genetika dari mandel tersebut ? (gunakan α = 5%)

Jawab :
Jumlah seluruh pengamatan yang dilakukan adalah : 530 + 150 + 175 + 55 = 910 dan proporsi hasil yang diharapkan adalah : 9 : 3 : 3 : 1, sehingga dperoleh total proporsi = 9 + 3 + 3 + 1 = 16
Nilai harapan dari percobaan adalah :
Test Statistik :




Untuk pengamatan yang dilakukan pada 1 baris saja dan terdapat kolom, maka dapat kita buat table klasifikasi satu arah, sehingga derajat kebebasan untuk X2 adalah :
X2α df (k-1)
Bulat merah
Lonjong merah muda
Bulat cokelat muda
Bulat keriput
Pengamatan (Oi)

Harapan (Ei)
530

511,90
150

170,60
175

170,60
55

56,90

Dari hasil perhitungan diatas diperoleh :
            X2hit = 3,292

Nilai kritis :
            X2 pada α = 5%   df (k- 1) = 7,815
            Ho diterima jika X2hit  <  X2α df (k-1)
                Ho diterima jika X2hit  ≥  X2α df (k-1)

Kesimpulan :
Ho diterima karena X2hit < X2α df (k-1)  = ( 3,292 < 7,815), hal ini berarti bahwa tidak ada alas an untuk tidak setuju terhadap teori Mendel tersebut. Karena berdasrkan hasil nilai X2 yang relative kecil, sehingga dapat diketahui bahwa jumlah frekwensi pengamatan yang sebenarnya cukup sesuai dengan jumlah frekwensi pengamatan yang diharapkan dengan resiko kekeliruan 5%


Contoh 2

Seorang pustakawan ingin mengetahui apakah ada pengaruh (dependensi) antara banyaknya jumlah buku yang dipinjam dengan hari-hari tertentu (senin sampai sabtu). Dari hasil pengamatan selama satu minggu diperoleh pinjaman buku sebagai berikut :

Hari
Senin
Selasa
rabu
Kamis
Jum’at
Sabtu
Jumlah buku yang dipinjam

180

130

120

190

100

80

Pertanyaan :

 Ujilah denngan α = 10 %, apakah ada pengaruh antara banyak sedikitnya jumlah buku yang   dipinjam dengan hari-hari tertentu diatas ?

Jawab :

1.      Formulasi Hipotetesis :
Ho : Tidak ada penngaruh antara banyak sedikitnya jumlah buku yang dipinjam dengan hari-hari tertentu.
H1 :  Ada penngaruh antara banyak sedikitnya jumlah buku yang dipinjam dengan hari-hari tertentu.

Tabel hasil pengamatan dan nilai harapannya :
Hari
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jum’at
Sabtu
Jumlah buku yang dipinjam (Oi)

180

130

120

190

100

80
Nilai Harapan (Ei)
160
160
160
160
160
160

Total buku yang dipinjam selama 1 minggu = (180 + 130 + 120 + 190 + 100 + 80 ) buku = total 800 Buku.
Sedangkan probabilitas jumlah buku yang dipinjam setiap hari = 1/6 (800) buku = 160 buku.

2.      Test Statistik :
           
3.      Nilai Kritis :

X2daf = X2α(k-1)
          
           = X2(0,10)(5)

           = 9,236 (lihat table)

Ho di Terima Jika X2hit  <  9,236
Ho di Tolak jika X2hit  ≥  9,236

4.      Kesimpulan :
Ho ditolak karena X2hit > 9,236
Hal ini berarti ada pengaruh antara banyak sedikitnya jumlah buku yang dipinjam dengan hari-hari tertentu dengan tingkat resiko sebesar 10%

Pengujian hipotesis dengan dua kategori (ukuran)

1.      Menentukan formulasi hipotesis
Ho : P1 = P2 = P3 =….(=P)
H1 : P1 ≠ P2 ≠ P3 ≠ ….(≠P)

2.      Menentukan taraf nyata (α) dan X2 tabel
Taraf nyata (α) dan X2 tabel ditentukan dengan derajat kebebasan (db) = k-1

           

3.      Menentukan criteria pengujian

Ho di Terima jika X2o  ≤  X2α(k-1)
Ho di Tolak jika X2o  >  X2α(k-1)


4.      Menetukan nilai uji statistic

           

Keterangan :
            Nij=
5.      Membuat kesimpulan

0 komentar:

Posting Komentar

Label 2

Slider